小棍摆法的公式推导及证明

 ★ 线段 下图中的线段表示小棍，看小棍的摆法多有趣！

（1）一根小棍。可以横着摆，也可以竖着摆。

（2）两根小棍。可以都横着摆，也可以都竖着摆，还可以一横一竖摆。

（3）三根小棍。可以像下面这样摆。

小棍摆法规律

1. 1 根小棍：
方向：横、竖
总数：2 = 2¹

2. 2 根小棍：
每根 2 种方向，独立选择
总数：2×2 = 4 = 2²

3. 3 根小棍：
总数：2×2×2 = 8 = 2³

4. 一般规律（n 为正整数）：
每根小棍有 2 种摆法，n 根独立
摆法总数：S = 2ⁿ

数学归纳法证明：
① 基例：n= 1 时，S=2¹=2，成立。
② 归纳假设：设 n = k 时，S=2ᵏ 成立。
③ 归纳步骤：n=k+ 1 时，新增 1 根有 2 种选择，
故 S = 2ᵏ × 2 = 2ᵏ⁺¹，成立。
④ 结论：对所有正整数 n，S=2ⁿ 恒成立。